An Introduction to Quantitative Finance – Stephen Blyth

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Introduzione

Il manuale descrive in dettaglio i Forward Rate Agreement (FRA) come un esempio chiave di derivato sui tassi di interesse. Un FRA è definito come un contratto forward per scambiare due flussi di cassa: un tasso fisso concordato in anticipo e un tasso variabile futuro, tipicamente basato sul Libor, su un importo nozionale. La caratteristica distintiva è che il pagamento avviene alla fine del periodo di riferimento del tasso, non al momento in cui il tasso variabile viene osservato, e un esempio pratico illustra come l’acquirente (buyer) possa ricevere o pagare un importo basato sulla differenza tra il tasso variabile osservato e il tasso fisso del contratto, effettivamente bloccando un costo di finanziamento futuro. Le fonti collegano questo concetto a un manuale di finanza quantitativa che esplora la valutazione e la copertura dei derivati finanziari utilizzando strumenti probabilistici e il principio di no-arbitraggio, sottolineando l’importanza dei derivati sui tassi di interesse come il mercato più ampio e matematicamente complesso.

Alcuni argomenti trattati

Comprendere i Forward Rate Agreement (FRA)

Certamente. Basandosi sulle fonti fornite, un Forward Rate Agreement (FRA) è un esempio fondamentale di derivato sui tassi di interesse [1-3]. È definito come un contratto forward per scambiare due flussi di cassa [3]. In un FRA, l’acquirente (o “buyer”) del contratto accetta di pagare un tasso fisso (K, chiamato anche delivery price o fixed rate) e ricevere un tasso variabile, tipicamente il Libor (LT[T, T + α]), su un importo nozionale (N) per un periodo futuro specifico [T, T + α] [3, 4]. Le fonti indicano che la maggior parte dei derivati sui tassi di interesse si basa sui tassi Libor [5].

La particolarità del FRA standard (contrapposto al Libor-in-arrears) è che il pagamento avviene alla fine del periodo di riferimento del tasso (al tempo T + α), non al momento in cui il tasso variabile viene osservato (al tempo T) [3, 6, 7].

Ecco un esempio pratico di un FRA:

Supponiamo che una società (A) si aspetti di dover prendere in prestito €1.000.000 tra 3 mesi per un periodo di 3 mesi. Temendo che i tassi di interesse possano aumentare, la società A vuole bloccare il costo di questo finanziamento futuro. Oggi (t), la società A può stipulare un FRA con una banca (B).

I dettagli del FRA potrebbero essere:

• Nozionale (N): €1.000.000 [8, 9]

• Data di fissaggio (T): Tra 3 mesi (è il momento in cui il tasso Libor futuro viene osservato) [3, 5, 6].

• Periodo di riferimento del tasso (α): 3 mesi (è la durata del prestito futuro) [3, 5, 6].

• Data di pagamento (T + α): Tra 6 mesi (è la fine del periodo di riferimento del tasso) [3, 7].

• Tasso fisso concordato (K): Supponiamo che, in base ai tassi forward attuali (Lt[T, T + α]), concordino un tasso fisso K del 5,50% annuo. Il tasso forward Libor (Lt[T, T + α]) è, per definizione, il valore di K che rende il FRA di valore nullo al tempo corrente t [4].

Cosa succede:

1.Al tempo t (Oggi): Il contratto FRA viene stipulato. Di solito, il suo valore iniziale è zero se K è impostato sul tasso forward Libor corrente [4, 10]. Non c’è scambio di denaro oggi.

2. Al tempo T (Tra 3 mesi): Il tasso Libor a 3 mesi effettivo per il periodo [T, T + α] (LT[T, T + α]) viene osservato (o “fissato”) [3, 5]. Questo tasso è una variabile casuale dal punto di vista di oggi [4, 5].

◦ Supponiamo che il Libor a 3 mesi al tempo T sia il 6,00% annuo.

3. Al tempo T + α (Tra 6 mesi): Avviene il pagamento. Il payout del FRA, dal punto di vista dell’acquirente che paga fisso e riceve variabile, è α * (LT[T, T + α] – K) moltiplicato per il nozionale N [3, 7].

◦ Il periodo α di 3 mesi corrisponde tipicamente a un fattore di giorno su base annua (ad esempio, 90/360 o 91/360, a seconda della convenzione daycount [11, 12]). Usiamo per semplicità α = 0,25 (3 mesi su 12).

◦ Il payout calcolato al tempo T + α è: * 0,25 * (6,00% – 5,50%) * €1.000.000 * 0,25 * 0,50% * €1.000.000 * 0,25 * 0,0050 * €1.000.000 = €1.250

Interpretazione del risultato:

• Nel nostro esempio, poiché il Libor effettivo al tempo T (6,00%) è maggiore del tasso fisso K (5,50%), il buyer del FRA (la società A) riceve un pagamento dalla controparte (la banca B) pari a €1.250 al tempo T + α.

• Se, invece, il Libor a 3 mesi al tempo T si fosse fissato al 5,00%, il payout sarebbe stato:

◦ 0,25 * (5,00% – 5,50%) * €1.000.000

◦ 0,25 * -0,50% * €1.000.000 = -€1.250

• In questo secondo caso, il payout negativo significa che il buyer del FRA (la società A) paga €1.250 alla controparte (la banca B) al tempo T + α.

Dal punto di vista pratico per la società A, se dovesse prendere in prestito €1.000.000 per 3 mesi al tasso Libor del 6,00%, pagherebbe (su base annua) €1.000.000 * 6,00% * 0,25 = €15.000 di interessi al tempo T+α. Ricevendo €1.250 dal FRA, il costo netto del finanziamento diventa €15.000 – €1.250 = €13.750, che corrisponde a un tasso effettivo del 5,50% annuo (€13.750 / €1.000.000 / 0,25 = 0,0550). In pratica, stipulando il FRA, la società A ha effettivamente bloccato il suo costo di finanziamento al tasso fisso K del 5,50% [13].È importante notare che il Libor (LT[T, T + α]) a cui si fa riferimento non è il prezzo di un asset che può essere comprato o venduto direttamente [4]. La valutazione di un FRA si basa sul concetto che il valore presente del flusso di cassa variabile atteso (basato sul tasso forward Libor Lt[T, T + α]) deve essere uguale al valore presente del flusso di cassa fisso [14]. Il valore di un FRA al tempo t ≤ T è dato da Z(t, T) – (1 + αK)Z(t, T + α), dove Z(t, Ti) è il prezzo di un Zero Coupon Bond (ZCB) che paga 1 unità monetaria al tempo Ti [10].